使用Bloom Filters

原作者：Maciej Ceglowski
April 08, 2004

任何perl使用者都熟悉hash查询，一个存在测试的语句可以这样写：

foreach my $e ( @things ) { $lookup{$e}++ }

sub check {
my ( $key ) = @_;
print "Found $key!" if exists( $lookup{ $key } );
}

虽然hash查询很有用，但对非常大的列表，或keys自身非常大时，这种查询可能变得不实用。当查询hash增长得太大，通常的做法是将它移到数据库或文件中，只在本地缓存里保存最常用的关键字，这样能改善性能。

许多人不知道有一种优雅的算法，用以代替hash查询。它是一种古老的算法，叫做Bloom filter。 Bloom filter允许你在有限的内存里（你想在这块内存里存放关键字的完整列表），执行成员测试，这样就能避开使用磁盘或数据库进行查询的性能瓶颈。也许你会认为，空间的节省是有代价的：存在着可大可小的假命中率风险，并且一旦你增加key到filter后，就不能删除它。然而在许多情形下，这些局限是可接受的，bloom filter能编制有用工具。（仙子注：例如代理服务器软件Squid就使用了bloom filter算法。）

例如，假如你运行了一个高流量的在线音乐存储站点，并且如果你已知歌曲存在，就可以通过仅获取歌曲信息的方法，来最大程度的减少数据库压力。你可以在启动时构建一个bloom filter，在试图执行昂贵的数据库查询前，可以用它执行快速的成员存在测试。

use Bloom::Filter;

my $filter = Bloom::Filter->new( error_rate => 0.01, capacity => $SONG_COUNT );
open my $fh, "enormous_list_of_titles.txt" or die "Failed to open: $!";

while (< $fh>) {
chomp;
$filter->add( $_ );
}

sub lookup_song {
my ( $title ) = @_;
return unless $filter->check( $title );
return expensive_db_query( $title ) or undef;
}

在该示例里，该测试给出假命中的几率是1%，在假命中率情况下程序会执行昂贵的数据库索取操作，并最终返回空结果。尽管如此，你已避开了99%的昂贵查询时间，仅使用了用于hash查询的一小片内存。更进一步，1%假命中率的filter，每个key的存储空间在2字节以下。这比你执行完整的 hash查询所需的内存少得多。

bloom filters在Burton Bloom之后命名，Burton Bloom 1970年首先在文档里描述了它们，文档名 Space/time trade-offs in hash coding with allowable errors.在那些内存稀少的日子里，bloom filters因其简洁而倍受重视。事实上，最早的应用之一是拼写检查程序。然而，由于有少数非常明显的特性，该算法特别适合社会软件应用。

因为bloom filters使用单向hash来存储数据，因此不可能在不做穷举搜索的情况下，重建filter里的keys列表。甚至这点看起来并非象很有用，既然来自穷举搜索的假命中会覆盖掉真正的keys列表。所以bloom filters能在不向全世界广播完整列表的情况下，共享关于已有资料的信息。因为这个理由，它们在peer-to-peer应用中特别有用，在这个应用中大小和隐私是重要的约束。

bloom filters如何工作

bloom filter由2部分组成：1套k hash函数，1个给定长度的位向量。选择位向量的长度，和hash函数的数量，依赖于我们想增加多少keys到设置中，以及我们能容忍的多高的假命中率。

bloom filter中所有的hash函数被配置过，其范围匹配位向量的长度。例如，假如向量是200位长，hash函数返回的值就在1到 200之间。在filter里使用高质量的hash函数相当重要，它保证输出等分在所有可能值上－－hash函数里的“热点”会增加假命中率。（仙子注：所谓“热点”是指结果过分频繁的分布在某些值上。）

要将某个key输入bloom filer中，我们在每个k hash函数里遍历它，并将结果作为在位向量里的offsets，并打开我们在该offsets上找到的任何位。假如该位已经设置，我们继续保留其打开。还没有在bloom filter里关闭位的机制。

在本示例里，让我们看看某个bloom filter，它有3个hash函数，并且位向量的长度是14。我们用空格和星号来表示位向量，以便于观察。你也许想到，空的bloom filter以所有的位关闭为开始，如图1所示。

图1：空的bloom filter

现在我们将字符apples增加到filter中去。为了做到这点，我们以apples为参数来运行每个hash函数，并采集输出：

hash1(“apples”) = 3
hash2(“apples”) = 12
hash3(“apples”) = 11

然后我们打开在向量里相应位置的位－－在这里就是位3，11，和12，如图2所示。

图2：激活了3位的bloom filter

为了增加另1个key，例如plums，我们重复hash运算过程：

hash1(“plums”) = 11
hash2(“plums”) = 1
hash3(“plums”) = 8

再次打开向量里相应的位，如图3里的高亮度显示。

图3：增加了第2个key的bloom filter

注意位置11的位已被打开－－在前面的步骤里，当我们增加apples时已设置了它。位11现在有双重义务，存储apples和plums两者的信息。当增加更多的keys时，它也会存储其他keys的信息。这种交迭让bloom filters如此紧凑－－任何位同时编码多个keys。这种交迭也意味着你永不能从filter里取出key，因为你不能保证你所关闭的位没有携载其他keys的信息。假如我们试图执行反运算过程来从filter里删除apples，就会不经意的关闭编码plums的1个位。从bloom filter里剥离key的唯一方法是重建filter，剔除无用key。

检查是否某个key已经存在于filter的过程，非常类似于增加新key。我们在所有的hash函数里遍历key，然后检查是否在那些 offsets上的位都是打开的。假如任何一位关闭，我们知道该key肯定不存在于filter中。假如所有位都打开，我们知道该key可能存在。

我说“可能”是因为存在一种情况，该key是个假命中。例如，假如我们用字符mango来测试filter，看看会发生什么情况。我们运行mango遍历hash函数：

hash1(“mango”) = 8
hash2(“mango”) = 3
hash3(“mango”) = 12

然后检查在那些offsets上的位，如图4所示。

图4：bloom filter的假命中

所有在位置3，8，和12的位都是打开的，故filter会报告mango是有效key。

当然，mango并非有效key－－我们构建的filter仅包含apples和plums。事实是mango的offsets非常巧合的指向了已激活的位。这就找到了1个假命中－－某个key看起来位于filter中，但实际不是。

正如你想的一样，假命中率依赖于位向量的长度和存储在filter里的keys的数量。位向量越宽阔，我们检查的所有k位被打开的可能性越小，除非该key确实存在于filter中。在hash函数的数量和假命中率之间的关系更敏感。假如使用的hash函数太少，在keys之间的差别就很少；但假如使用hash函数太多，filter会过于密集，增加了冲突的可能性。可以使用如下公式来计算任何filter的假命中率：

c = ( 1 – e(-kn/m) )k

这里c是假命中率，k是hash函数的数量，n是filter里keys的数量，m是filter的位长。

当使用bloom filters时，我们先要有个意识，期待假命中率多大；也应该有个粗糙的想法，关于多少keys要增加到filter里。我们需要一些方法来验证需要多大的位向量，以保证假命中率不会超出我们的限制。下列方程式会从错误率和keys数量求出向量长度：

m = -kn / ( ln( 1 – c ^ 1/k ) )

请注意另1个自由变量：k，hash函数的数量。可以用微积分来得出k的最小值，但有个偷懒的方法来做它：

sub calculate_shortest_filter_length {
my ( $num_keys, $error_rate ) = @_;
my $lowest_m;
my $best_k = 1;

foreach my $k ( 1..100 ) {
my $m = (-1 * $k * $num_keys) /
( log( 1 - ($error_rate ** (1/$k))));

if ( !defined $lowest_m or ($m < $lowest_m) ) {
$lowest_m = $m;
$best_k   = $k;
}
}
return ( $lowest_m, $best_k );
}

为了给你直观的感觉，关于错误率和keys数量如何影响bloom filters的存储size，表1列出了一些在不同的容量/错误率组合下的向量size。

ErrorRate Keys RequiredSize Bytes/Key
1% 1K 1.87 K 1.9
0.1% 1K 2.80 K 2.9
0.01% 1K 3.74 K 3.7
0.01% 10K 37.4 K 3.7
0.01% 100K 374 K 3.7
0.01% 1M 3.74 M 3.7
0.001% 1M 4.68 M 4.7
0.0001% 1M 5.61 M 5.7

在Perl里构建bloom filter

为了构建1个工作bloom filter，我们需要1套良好的hash函数。这些容易解决－－在CPAN上有几个优秀的hash算法可用。对我们的目的来说，较好的选择是Digest::SHA1，它是强度加密的hash，用C实现速度很快。通过对不同值的输出列表进行排序，我们能使用该模块来创建任意数量的hash函数。如下是构建唯一hash函数列表的子函数：

use Digest::SHA1 qw/sha1/;

sub make_hashing_functions {
my ( $count ) = @_;
my @functions;

for my $salt (1..$count ) {
push @functions, sub { sha1( $salt, $_[0] ) };
}

return @functions;
}

为了能够使用这些hash函数，我们必须找到1个方法来控制其范围。Digest::SHA1返回令人为难的过长160位hash输出，这仅在向量长度为2的160次方时有用，而这种情况实在罕见。我们结合使用位chopping和division来将输出削减到可用大小。

如下子函数取某个key，运行它遍历hash函数列表，并返回1个长度（$FILTER_LENGTH）的位掩码：

sub make_bitmask {
my ( $key ) = @_;
my $mask    = pack( "b*", '0' x $FILTER_LENGTH);

foreach my $hash_function ( @functions ){ 

my $hash       = $hash_function->($key);
my $chopped    = unpack("N", $hash );
my $bit_offset = $result % $FILTER_LENGTH;

vec( $mask, $bit_offset, 1 ) = 1;
}
return $mask;
}

让我们逐行分析上述代码：

my $mask = pack( "b*", '0' x $FILTER_LENGTH);

我们以使用perl的pack操作来创建零位向量开始，它是$FILTER_LENGTH长。pack取2个参数，1个模型和1个值。b模型告诉 pack将值解释为bits，*指“重复任意多需要的次数”，跟正则表达式类似。perl实际上会补充位向量的长度为8的倍数，但我们将忽视这些多余位。

有1个空的位向量在手中，我们准备开始运行key遍历hash函数：

my $hash = $hash_function->($key);
my $chopped = unpack("N", $hash );

我们保存首个32位输出，并丢弃剩下的。这点可让我们不必要求BigInt支持。第2行做实际的位chopping。模型里的N告诉unpack以网络字节顺序来解包32位整数。因为未在模型里提供任何量词，unpack仅解包1个整数，然后终止。

假如你对位chopping过度狂热，你可以将hash分割成5个32位的片断，并对它们一起执行OR运算，将所有信息保存在原始hash里：

my $chopped = pack( "N", 0 );
my @pieces  =  map { pack( "N", $_ ) } unpack("N*", $hash );
$chopped    = $_ ^ $chopped foreach @pieces;

但这样作可能杀伤力过度。

现在我们有了来自hash函数的32位整数输出的列表，下一步必须做的是，裁减它们的大小，以使其位于（1..$FILTER_LENGTH）范围内。

my $bit_offset = $chopped % $FILTER_LENGTH;

现在我们已转换key为位offsets列表，这正是我们所求的。

剩下唯一要做的事情是，使用vec来设置位，vec取3个参数：向量自身，开始位置，要设置的位数量。我们能象赋值给变量一样来分配值给vec：

vec( $mask, $bit_offset, 1 ) = 1;

在设置了所有位后，我们以1个位掩码来结束，位掩码和bloom filter长度一样。我们可以使用这个掩码来增加key到filter中：

sub add {
my ( $key, $filter ) = @_;

my $mask = make_bitmask( $key );
$filter  = $filter | $mask;
}

或者我们使用它来检查是否key已存在：

sub check {
my ( $key, $filter ) = @_;
my $mask  = make_bitmask( $key );
my $found = ( ( $filter & $mask ) eq $mask );
return $found;
}

注意这些是位逻辑运算符OR(|)和AND(&)，而并非通用的逻辑OR(||)和AND(&&)运算符。将这两者混在一起，会导致数小时的有趣调试。第1个示例将掩码和位向量进行OR运算，打开任何未设置的位。第2个示例将掩码和filter里相应的位置进行比较－－假如掩码里所有的打开位也在filter里打开，我们知道已找到一个匹配。

一旦你克服了使用vec,pack和位逻辑运算符的难度，bloom filters实际非常简单。http://www.perl.com/2004/04/08/examples/Filter.pm 这里给出了Bloom::Filter模块的完整信息。

分布式社会网络中的bloom filters

当前的社会网络机制的弊端之一是，它们要求参与者泄露其联系列表给中央服务器，或公布它到公共Internet，这2种情况下都牺牲了大量的用户隐私。通过交换bloom filters而不是暴露联系列表，用户能参与社会网络实践，而不用通知全世界他们的朋友是谁。编码了某人联系信息的 bloom filter能用来检查它是否包含了给定的用户名或email地址，但不能强迫要求它展示用于构建它的完整keys列表。甚至有可能将假命中率（虽然它听起来不像好特性），转换为有用工具。

假如我非常关注这些人，他们通过对bloom filter运行字典攻击，来试图对社会网络进行反工程。我可以构建filter，它具备较高的假命中率（例如50%），然后发送filter的多个拷贝给朋友，并变换用于构建每个filter的hash函数。我的朋友收集到的filters越多，他们见到的假命中率越低。例如，在5个filters情况下，假命中率是0.5的5次方，或3%－－通过发送更多filters，还能进一步减少假命中率。

假如这些filters中的任何一个被中途截取，它会展示全部50%的假命中率。所以我能隔离隐私风险，并且一定程度上能控制其他人能多清楚的

了解我的网络。我的朋友能较高程度的确认是否某个人位于联系列表里，但那些仅截取了1个或2个filters的人，几乎不会获取到什么。如下是个perl函数，它对1组嘈杂的filters检查某个key：

use Bloom::Filter;

sub check_noisy_filters {
my ( $key, @filters ) = @_;
foreach my $filter ( @filters ) {
return 0 unless $filter->check( $key );
}
return 1;
}

假如你和你的朋友同意使用相同的filter长度和hash函数设置，你也能使用位掩码对比来估计在你们的社会网络之间的交迭程度。在2个bloom filters里的共享位数量会给出1个可用的距离度量。

sub shared_on_bits {
my ( $filter_1, $filter_2 ) = @_;
return unpack( "%32b*",  $filter_1 & $filter_2 )
}

另外，你能使用OR运算，结合2个有相同长度和hash函数的bloom filters来创建1个复合filter。例如，假如你参与某个小型邮件列表，并希望基于组里每个人的地址本来创建白名单，你可以为每个参与者独立的创建1个bloom filter，然后将filters一起进行OR运算，将结果输入Voltron-like主列表。组里成员不会了解到其他成员的联系信息，并且filter仍能展示正确的行为。

肯定还有其他针对社会网络和分布式应用的bloom filter妙用。如下参考列出一些有用资源。

参考
· Bloom Filters — the math. A good place to start for an overview of the math behind Bloom filters.
· Some Motley Bloom Tricks. Handy filter tricks and theory page.
· Bloom Filter Survey. A handy survey article on Bloom filter network applications.
· LOAF. Our own system for incorporating social networks onto email using Bloom filters.
· Compressed Bloom Filters. If you are passing filters around a network, you will want to optimize them for minimum size; this paper gives a good overview of compressed Bloom filters.
· Bloom16. A CPAN module implementing a counting Bloom filter.
· Text::Bloom. CPAN module for using Bloom filters with text collections.
· Privacy-Enhanced Searches Using Encryted Bloom Filters. This paper discusses how to use encryption and Bloom filters to set up a query system that prevents the search engine from knowing the query you are running.
· Bloom Filters as Summaries. Some performance data on actually using Bloom filters as cache summaries.
· Using Bloom Filters for Authenticated Yes/No Answers in the DNS. Internet draft for using Bloom filters to implement Secure DNS